环上的模
我们知道,对于一个群G,和G的正规子群H,我们可以作商群G/H,且两个群直接的同态的image
和kernel
都是正规子群。而对于交换群,性质会更好:交换群G的任意子群H,我们都可以作商群G/H。然而,对于环来说,我们不能对一个环R的子环作商环,并且环同态的image
和kernel
都不是子环。环中重要的子集是理想,我们可以对环R的理想I作商环R/I,但是理想并不是环的子结构。所以环范畴的性质不如交换群范畴好,我们需要在环上引入一种更好的代数结构:模。
随风而去
AsGroup(D)
collection D的元素构成群,则返回这个群,否则返回fail
IsCharacteristicSubgroup(G, N)
检测N是否是特征子群
IsSubnormal(G, U)
次正规
EpimorphismFromFreeGroup(G)
返回自由群到G的满同态,该同态将自由群生成元映到G的生成元
name属性可以指定自由群的words
1 | gap> g:=Group((1,2,3,4),(1,2)); |
Factorization(G, elm)
将elem表表示成G的生成元的乘积,当G的阶很大时效率低,应使用同态方法
GrowthFunctionOfGroup(G)
返回一个列表,列表的第i+1项是G中234表示为最短生成元乘积长度是i的元素个数
GAP 中的群作用是右作用。
设μ:Ω×G⟶Ω 是G在集合Ω上的作用,
则μ满足μ(x,gh)=μ(μ(x,g),h)
在GAP中,群作用μ可以通过定义函数u(omega,g)来构造,GAP本身已经提供了非常多的作用。
OnPoints(pnt, g)
定义为 pnt^g,例如,pnt是子群,则它是子群的共轭作用
OnRight(pnt, g)
pnt*g, 例如,pnt是子群,则该作用就是子群上的置换表示
OnSets(set, g)
群元素g在集合set上的作用是对set的每个元素做^运算
OnTuples(tup, g)
g在有序元组tup上的作用是对tup的每个元素做^
OnPairs
在有序对上的^作用
Permuted(list, perm)
对list按照置换perm进行重排
Orbit(g,pnt,[act])
返回pnt的轨道,默认act是OnPoints
Stabilizer(G[, Omega], pnt[, gens, acts][, act])
计算pnt的稳定子群
1 | gap> Stabilizer(g,[1,2],OnSets); |
RepresentativeAction(G[, Omega], d, e[, act])
计算使dg=e的一个g代表元ActionHomomorphism(G, Omega[, act][, "surjective"])
返回act对应的置换表示,设ϕ是G到Omega对称群的群同态,n=|Ω|,它返回与ϕ置换等价的群同态
ψ:G→1,2,⋯,n
若指定surjective,则它用ψ(G)作为目标域。
FactorCosetAction(G, U)
返回G在U上的置换表示,更准确地说,返回一个与G在U上的置换表示置换等价的满同态ψ:G→P,P是1,2,⋯,n上的置换群
RightCoset(U, g)
可以写为 U*gRightCosets(G,U)
返回U的所有右陪集
RightTransversal(G, U)
返回一列右陪集分解的代表元
CosetDecomposition(G, S)
右陪集分解
IsTransitive(G, Omega[, gens, acts][, act])
检测一个作用是否传递
IsTransitive(G)
检测一个置换群是否传递
Stabilizer Chains
how to find all subgroups of a group
1 | ischarsimple:=function(G) |
1 | %gap |