环上的模

我们知道，对于一个群$G$,和$G$的正规子群$H$,我们可以作商群$G/H$,且两个群直接的同态的image 和kernel都是正规子群。而对于交换群，性质会更好:交换群$G$的任意子群$H$，我们都可以作商群$G/H$。然而，对于环来说，我们不能对一个环$R$的子环作商环，并且环同态的image和kernel都不是子环。环中重要的子集是理想，我们可以对环$R$的理想$I$作商环$R/I$,但是理想并不是环的子结构。所以环范畴的性质不如交换群范畴好，我们需要在环上引入一种更好的代数结构:模。

AsGroup(D) collection D的元素构成群，则返回这个群，否则返回fail

IsCharacteristicSubgroup(G, N) 检测N是否是特征子群

IsSubnormal(G, U) 次正规

Expressing Group Elements asWords in Generators

EpimorphismFromFreeGroup(G) 返回自由群到G的满同态，该同态将自由群生成元映到G的生成元

name属性可以指定自由群的words

例子

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gap> g:=Group((1,2,3,4),(1,2));
Group([ (1,2,3,4), (1,2) ])
gap> hom:=EpimorphismFromFreeGroup(g:names:=["x","y"]);
[ x, y ] -> [ (1,2,3,4), (1,2) ]
gap> PreImagesRepresentative(hom,(1,4));
y^-1*x^-1*(x^-1*y^-1)^2*x

Factorization(G, elm) 将elem表表示成G的生成元的乘积，当G的阶很大时效率低，应使用同态方法

GrowthFunctionOfGroup(G) 返回一个列表，列表的第i+1项是G中234表示为最短生成元乘积长度是i的元素个数

Group Action in GAP

Group Action

GAP 中的群作用是右作用。

设$\mu: \Omega\times G\longrightarrow\Omega$ 是$G$在集合$\Omega$上的作用，
则$\mu$满足$\mu(x,gh)=\mu(\mu(x,g),h)$

Basic Action

在GAP中，群作用$\mu$可以通过定义函数u(omega,g)来构造，GAP本身已经提供了非常多的作用。

OnPoints(pnt, g) 定义为 pnt^g，例如，pnt是子群，则它是子群的共轭作用

OnRight(pnt, g) pnt*g, 例如，pnt是子群，则该作用就是子群上的置换表示

OnSets(set, g) 群元素g在集合set上的作用是对set的每个元素做^运算

OnTuples(tup, g) g在有序元组tup上的作用是对tup的每个元素做^

OnPairs 在有序对上的^作用

Permuted(list, perm) 对list按照置换perm进行重排

Orbit(g,pnt,[act]) 返回pnt的轨道,默认act是OnPoints

Stabilizer(G[, Omega], pnt[, gens, acts][, act]) 计算pnt的稳定子群

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gap> Stabilizer(g,[1,2],OnSets);
Group([ (1,2)(3,4) ])
gap> Stabilizer(g,[1,2],OnTuples);
Group(())
gap> OrbitStabilizer(g,[1,2],OnSets);
rec(
orbit := [ [ 1, 2 ], [ 1, 3 ], [ 1, 4 ], [ 2, 3 ], [ 3, 4 ],
[ 2, 4 ] ], stabilizer := Group([ (1,2)(3,4) ]) )

RepresentativeAction(G[, Omega], d, e[, act]) 计算使$d^g=e$的一个g代表元
ActionHomomorphism(G, Omega[, act][, "surjective"]) 返回act对应的置换表示，设$\phi$是G到Omega对称群的群同态，$n=|\Omega|$，它返回与$\phi$置换等价的群同态
$\psi:G\rightarrow {1,2,\cdots,n}$
若指定surjective,则它用$\psi(G)$作为目标域。

FactorCosetAction(G, U) 返回G在$U$上的置换表示，更准确地说，返回一个与G在$U$上的置换表示置换等价的满同态$\psi:G\rightarrow P$，$P$是${1,2,\cdots,n}$上的置换群

RightCoset(U, g) 可以写为 U*g
RightCosets(G,U) 返回U的所有右陪集

RightTransversal(G, U) 返回一列右陪集分解的代表元

CosetDecomposition(G, S) 右陪集分解

IsTransitive(G, Omega[, gens, acts][, act])检测一个作用是否传递

IsTransitive(G) 检测一个置换群是否传递

Stabilizer Chains

关于群元素的阶的猜想

在看Schur-Zassenhaus 定理证明的时候，发现了一个不太理解的步骤.

$a$是群$G$的元素，且$(|a|,n)=1$,则存在$b\in G$，使得，$b^n=a$

如果它是正确的，那么似乎能给出元素能开$n$次方的条件。

半群：封闭性，结合律

monoid(幺半群):半群含单位元

循环群

a group of order n is cyclic if
and only if it contains an element of order n.

if p is prime, the
group $((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*,\cdot )$ is cyclic.

$\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\cong ((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*,\cdot )$

The group $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ is cyclic if and only if n is $1,2,4,p^k,2p^k$ , where p is an odd prime and k > 0

Multiplicative group of integers modulo n;

how to find all subgroups of a group

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ischarsimple:=function(G)
    local normal,flag,i;
    flag:=true;
    normal:=NormalSubgroups(G);
        for i in [2 .. Length(normal)-1] do
            if(IsCharacteristicSubgroup(G,normal[i])) then
            flag:=false;
            break;
            fi;
            od;
        return flag;


    end;

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%gap
num:=List([1 .. 65],NumberSmallGroups);
    for order in [1 .. 65] do
    for i in  [1 .. num[order]] do
     if ischarsimple(SmallGroup(order,i)) then
        Print(order," , ");
        break;
     fi;
        od;
        od;